Таблица частных решений неоднородных дифференциальных уравнений

На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Нахождение решения однородного уравнения 2 можно посмотреть тут — решение дифференциальных уравнений второго порядка и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Существует несколько методов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Эти методы выбираются в зависимости от вида правой части — функции. Здесь — многочлен степени n с неопределенными коэффициентами которые подлежат определению , а s — кратность корня характеристического уравнения однородного уравнения 2 или то есть количество корней характеристического уравнения, равных нулю.

Так как — частное решение уравнения 1 , то коэффициенты, определяющие многочлен , можно найти методом неопределенных коэффициентов из равенства.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Поскольку права часть исходного уравнения представляет собой многочлен второй степени и один из корней характеристического уравнения равен нулю , значит, показатель степени s — кратность корня — равен единице , то частное решение. Для их определения подставим эту функцию в заданное неоднородное дифференциальное уравнение:. Коэффициенты многочлена определяются подстановкой частного решения в исходное уравнение так как является решением, то оно должно удовлетворять уравнению.

Таким образом, должно выполняться равенство 3. Поскольку правая часть — функция — исходного неоднородного уравнения представляет собой произведение многочлена второй степени на экспоненту, то частное решение ищем в виде. В данном случае , так как среди корней характеристического уравнения однородного уравнения нет. Делим на и приравниваем коэффициенты при одинаковых показателях степени независимой переменной x.

В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов и C:. А тогда общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Здесь s — число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения — многочлены степени k с неизвестными коэффициентами. Коэффициенты этих многочленов определяются из равенства 3. Тогда решение однородного уравнения поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны.

Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем по виду правой части. В данном случае , числа не являются корнями характеристического многочлена то есть. Подставляем эту функцию в равенство 3 что то же самое, в исходное дифференциальное уравнение:.

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:.

Если правая часть имеет отличную, от описанных выше, структуру, то для нахождение решения уравнения 1 применяют метод вариации произвольной постоянной:. Функции точнее их производные являются решением системы. Тогда сами неизвестные функции находятся с помощью интегрирования. Поскольку корни характеристического уравнения — это комплексно сопряженные числа, то решение однородного уравнения.

Так как правая часть исходного неоднородного уравнения не является функцией специального вида, то далее варьируем константы постоянные , считая их функциями независимой переменной: Тогда общее решение неоднородногоуравнения будем искать в виде:. Для нахождения неизвестных функций составляем систему Сократим оба уравнения на:. Найдем решение этой системы методом Крамера напомним, что неизвестными в этой системе являются функции и.

Определитель матрицы системы определитель Вронского:. Поскольку , то система имеет единственное решение. Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?!

Главная Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение О проекте. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Неоднородные дифференциальные уравнения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений второго порядка Дифференциальные уравнения второго порядка. Главная Справочник Дифференциальные уравнения Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

ПРИМЕР Задание Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Для их определения подставим эту функцию в заданное неоднородное дифференциальное уравнение: Подставляем это выражение в исходное дифференциальное уравнение: В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов и C: После нахождения производных и приведения подобных слагаемых будем иметь: Сокращая на и приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов: ПРИМЕР Задание Найдите решение уравнения Решение Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Для этого составим и решим его характеристическое уравнение: Тогда общее решение неоднородногоуравнения будем искать в виде: Для нахождения неизвестных функций составляем систему 4: Сократим оба уравнения на: Определитель матрицы системы определитель Вронского: Сервисы Онлайн калькуляторы Справочник Примеры решений Заказать решение Учебные статьи.

SolverBook О проекте Задать вопрос Контакты Карта сайта. Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти решение дифференциального уравнения. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Таким образом, искомое решение исходного уравнения.

Карта сайта

115 116 117 118 119 120 121 122 123

См. также